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新6年生 第2回④

N進数の続きです。前回、この例題1を別の方法で解くという話で終わりました。

例題1
10進数の49を4進数で表せ。

カッシーはこれを解く時に、例題2を応用します。4進数ですから位は

×64 ×16 ×4 ×1 となります。49は64以下なので、実際の位は×16までの3ケタでOKです。

16×□+4×□+1×□=49
答える時には、この□の中に答えが49になるように左から3以下の数をぶちこんでいきます。

そこそこ計算の速い人ならおそらく見た瞬間左から3、0、1と埋まるはずです。

数字に強い人は、□進数となったときに、一瞬で位の上に数字が浮かぶはずです。あとはそれを左から埋めていくだけで暗算で解けます。暗算がある程度できる人や、数を知っている人はこの方法が良いと勝手に思っていますので、上位のクラスではこの方法を別解として教えます。実際に採用するかは個人の好みですね。

また、数によっては恐るべき速さで解くことができます。

例えば「10進数の63を2進数で表せ」のような問題ですと、63を2でひたすら割り続けるのではなく、63は64(7ケタ目)の1つ手前の数なので111111が答え。と出せます。

逆もできます。「3進数の22222を10進数で表せ」のような問題も、81×2+27×2+・・・とやっていくのではなく、6ケタ目が243(3の5乗)だとわかっていれば、-1の242とわかります。実はこの問題はSクラスの序盤の白板でやりました。実際に出した問題はただの3進数ではなく「0、2、7の3種類のみ使える数を2、7、20、27・・・と小さい方から数を並べていき77777は何番目か」という若干ひねりが入っているものですが、ホテルや病院の抜け番問題へと発展する難関校で頻出のタイプの導入問題になります。

この左から埋めていく計算法のデメリットとしては、7~9進数のようにNが大きい場合で、しかも位が5つ6つになったときに、位の計算が多少面倒なことと、四則演算が遅い生徒は数字によっては逆に時間がかかるケースがあることです。ただ、実際にそこまで大きな数が出題されることはまずありませんし、位が5つも6つも続くようなものは2進数や3進数のような小さな数字のことが多いです。また、割り算に比べ、足す、引く、掛けるが苦手な生徒はそう多くはないと思います。

ちなみに、この考えを取り入れることで平方数や立方数等に強くなります。数の知識が増えるということですね。N進数とは全く関係ありませんが、私が担当している理科の授業のチーム戦で「平方数、立方数だとボーナスがつく」などとやっているのはお遊びではなく、実は生徒の数に対するセンスを磨くためでもあります。6年の後半の方になってくると、チームの得点が343点というのを見てすぐに「お、7の立方数じゃん」と反応する生徒も増えてきます。

数に対するセンスを磨くには、ヒマなときに色々と数で遊ぶことが大事です。今でも良く覚えているのが、私自身小学生3、4年の時に2つ上の兄と、「2を掛け続けて、ひと息でどこまで言えるか。16乗までどっちが速く言えるか」等を競ったりしていました。

他には、兄に2進数の意味を教えてもらって、どっちが速く指で1~31まで表せるか等もやっていたのを覚えています。指で2進数を表す方法は、右手の親指が1、人差し指が2、中指が4、薬指が8、小指が16を示しますので、5本指を使えば、31まで表せます。素早くやろうとすると、親指と人差し指をすごい勢いで動かさなければいけないので、結構しんどいです。8からが結構難しいんすよね(関節的な意味で)。

話がそれてしまいましたが、実際の入試でN進数が出題されるときは、特殊な時計であったり、箱に球を入れていったり、スペースに色を塗ったりする設定が多く、問題を読んで、まずそれが何進数を示しているのかを見分けなければいけません。中堅レベルの学校だと、今でもこのような設定で問題を組むことが多いです。

さきほどの指の場合だと、指が「立っていない」か「立っているか」、つまり「0」か「1」かなので2進数とすぐに判断できます。N進数の本来の意味は全然理解していないけれども、作業的に例題1、2レベルが解けるだけという生徒ですと、例えば先ほどの指の設定が出た時に「指が5本だから5進数?」等とわけのわからないことを平気でやったりします。そうならないために、表面的な理解にとどまることだけは避けたいところです。

以上をもって、N進数の話は終わりにします。記事の内容についてですが、N進数がさっぱりわからない生徒がこれを見てわかるようになるとは全く思いませんし、そのつもりで書いていません。何故ならこの記事を読んだだけでわかる理解力があるのならば、そもそも授業中にきちんと理解できているはずだからです。ある程度わかっている生徒や大人が見てなるほどなと思ってくれれば良いと思っています。

わからない生徒はやはり個別に質問に来るしかないと思います。全くわからないなら下手に見栄を張らず、「全くわからない!」と言って下さい。でもまずは自分なりに頑張って理解しようとしてみましょう。何故なら、自分で頭を動かして「あ、そういうことかわかった!」となったことに比べ、ただ教えてもらったことというのは、思ったほど頭に残らないものだからです。

テーマ : 中学受験
ジャンル : 学校・教育

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カッシー

Author:カッシー
首都圏の中学受験専門塾で教室長をやっております。
中学受験情報、塾内での出来事、雑談等を記事にしていきます。
mail:kassy@sk-antore.com
HP:カッシーが教えている塾
Twitter:@kassy_ant

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